Derivació

Concepte de Derivada

La derivada d’una funció en un punt específic mesura la taxa de canvi instantània de la funció respecte a la seva variable independent.

Definició Formal

La derivada de $f$ respecte a $x$ en el punt $x = a$ es defineix utilitzant el concepte de límit:

$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$

On $h$ és un increment petit en $x$, i $f(a+h)$ és el valor de la funció en $x = a + h$.

Interpretació Geomètrica

Geomètricament, aquest límit representa el pendent de la recta tangent a la corba de la funció en el punt $x = a$. Si el límit existeix, aquesta pendent és única i és un indicador clau de la direcció i la rapidesa amb què canvia la funció.

Càlcul de Derivades

Derivades Immediates

• Constant: $\frac{d}{dx} c = 0$

• Multiplicació: $\frac{d}{dx} ax = a$

• Divisió: $\frac{d}{dx} \frac{1}{x} = -\frac{1}{x^2}$

• Potència: $\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1}$

• Exponencial: $\frac{d}{dx} e^x = e^x$

• Logarítmica: $\frac{d}{dx} \log(x) = \frac{1}{x}$

• Sinus: $\frac{d}{dx} \sin(x) = \cos(x)$

• Cosinus: $\frac{d}{dx} \cos(x) = -\sin(x)$

• Tangent: $\frac{d}{dx} \tan(x) = \sec^2(x)$

Regles de Derivació

• Regla de la Suma: $\frac{d}{dx} f(x) + g(x) = f'(x) + g'(x)$

• Regla del Producte: $\frac{d}{dx} f(x)g(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$

• Regla del Quocient: $\frac{d}{dx} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}$

• Regla de la Cadena: $\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x))g'(x)$

Anàlisi de Punts Crítics

1. Identificació de Punts Crítics

Un punt crític es troba on la primera derivada de la funció, $f'(x)$, és zero o no està definida. Aquests punts són candidats per ser màxims, mínims o punts d’inflexió.

• Resoldre $f'(x) = 0$: Cerca els valors de $x$ que satisfan aquesta condició.
• Punts on $f'(x)$ no està definida: Aquests poden ser punts on la funció té discontinuïtats o singularitats.

2. Test de la Primera Derivada

Aquest test avalua el comportament de la derivada abans i després del punt crític per determinar si és un màxim o un mínim:

• Si $f'(x)$ canvia de positiu a negatiu en el punt, és un màxim local.
• Si $f'(x)$ canvia de negatiu a positiu, és un mínim local.
• Si $f'(x)$ no canvia de signe, podria ser un punt de sella.

3. Test de la Segona Derivada

Aquest test ajuda a confirmar la naturalesa dels punts crítics i a identificar punts d’inflexió:

• Màxims i mínims:
• $f''(x) > 0$ indica un mínim local (concavitat cap amunt).
• $f''(x) < 0$ indica un màxim local (concavitat cap avall).
• $f''(x) = 0$ aquest test és inconcloent i pot requerir anàlisi més profund.
• Punts d’inflexió:
• S’identifiquen on $f''(x) = 0$ i $f''(x)$ canvia de signe, indicant un canvi en la concavitat.

Conclusió

L’anàlisi de derivades és fonamental en molts camps de la ciència i l’enginyeria, permetent entendre i predir el comportament de diverses funcions matemàtiques i físiques.